Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，若x∈[-4，-2]时，f（x）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：设x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]，代入[0，2]时f（x）的解析式，再根据f（x+4）=9f（x）求出在[-4，-2]上f（x）的解析式，将f（x）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立转化成

3

t

-t≤

1

2

（x²+6x+8）_min=-

1

2

即可，求出t的取值范围即可．

解答：解：设x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]
f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8=3f（x+2）=9f（x）
即f（x）=

1

9

（x²+6x+8）
∵f（x）=

1

9

（x²+6x+8）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立
∴

3

t

-t≤

1

2

（x²+6x+8）_min=-

1

2

解得：t∈[-

3

2

，0）∪[2，+∞）
故答案为：[-

3

2

，0）∪[2，+∞）

点评：本题主要考查了函数最值的应用，以及函数解析式的求解及常用方法，本题解题的关键将区间[-4，-2]转化到区间[0，2]，易错在直接代入解析式计算，没有弄清在每一段的函数解析式不一样．