题目内容

定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,若x∈[-4,-2]时,f(x)≥
1
18
(
3
t
-t)
恒成立,则实数t的取值范围是
 
分析:设x∈[-4,-2],则x+4∈[0,2],代入[0,2]时f(x)的解析式,再根据f(x+4)=9f(x)求出在[-4,-2]上f(x)的解析式,将f(x)≥
1
18
(
3
t
-t)
恒成立转化成
3
t
-t
1
2
(x2+6x+8)min=-
1
2
即可,求出t的取值范围即可.
解答:解:设x∈[-4,-2],则x+4∈[0,2]
f(x+4)=(x+4)2-2(x+4)=x2+6x+8=3f(x+2)=9f(x)
即f(x)=
1
9
(x2+6x+8)
∵f(x)=
1
9
(x2+6x+8)≥
1
18
(
3
t
-t)
恒成立
3
t
-t
1
2
(x2+6x+8)min=-
1
2

解得:t∈[-
3
2
,0)∪[2,+∞)
故答案为:[-
3
2
,0)∪[2,+∞)
点评:本题主要考查了函数最值的应用,以及函数解析式的求解及常用方法,本题解题的关键将区间[-4,-2]转化到区间[0,2],易错在直接代入解析式计算,没有弄清在每一段的函数解析式不一样.
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