题目内容

已知函数图像上一点处的切线方程为,其中为常数.

(Ⅰ)函数是否存在单调减区间?若存在,则求出单调减区间(用表示);

(Ⅱ)若不是函数的极值点,求证:函数的图像关于点对称.

(Ⅰ)当时,,函数在区间上单调增增,不存在单调减区间;                                

时,函数存在单调减区间,为         

时,函数存在单调减区间,为         

(Ⅱ)证明见解析


解析:

(Ⅰ),     ……………1分

由题意,知

                                    ……………………2分

               …………………3分

时,,函数在区间上单调增加,

不存在单调减区间;                                       ……………………5分

时,,有

+

-

+

时,函数存在单调减区间,为         ……………7分

时, ,有

+

-

+

时,函数存在单调减区间,为           …………9分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:若不是函数的极值点,则

            …………………10分

设点是函数的图像上任意一点,则

关于点的对称点为

(或    

在函数的图像上.

由点的任意性知函数的图像关于点对称.          …………………14分

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