题目内容
已知函数,在函数图像上一点处切线的斜率为3.
(1)若函数在时有极值,求的解析式;
(2)若函数在区间上单调递增,求的取值范围.
(本小题主要考查函数与导数等知识,考查分类讨论,化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)
解:由
求导数得,
由在函数图像上一点处切线的斜率为3,
知,即,
化简得…… ① …………………2分
(1) 因为在时有极值,
所以, 即…… ②
由①②联立解得,
∴ .…………………6分
(2),
由①知,
∴ .
在区间上单调递增,
依题意在上恒有,………8分
即在上恒成立,
下面讨论函数的对称轴:
① 在时,
,
∴ .…………………9分
② 在 时,
, 无实数解.…………………10分
③ 在时,
,
∴ .…………………11分
综合上述讨论可知,
的取值范围是.…………………12分
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