题目内容
如图，某住宅小区在围墙的墙角处有一矩形绿地ABCD，周围均为荒地，开发商欲把墙角处改造扩建成一个更大的绿地三角形花园AEF，要求EF过点C，若AB长15m，AD长10m．（1）要使绿地AEF的面积不超过400m2，则AE的长应在什么范围内？
（2）若在改造扩建过程中，原绿地改造的费用为每平方100元，旁边荒地改造的费用为每平方200元，则当AE的长度是多少时，开发商投入的费用最小？并求出最小费用．
分析：（1）设BE的长，求出DF的长，进而可得△AEF的面积，利用绿地AEF的面积不超过400m2，建立不等式，即可求得AE的范围；
（2）由题意，荒地改造的面积最小时，开发商投入的费用最小，此时△AEF的面积最小．
（2）由题意，荒地改造的面积最小时，开发商投入的费用最小，此时△AEF的面积最小．
解答：解：（1）设BE=xm，则DF=
m
∴AE=15+x，AF=
+10
∴△AEF的面积为
（15+x）（
+10）m2，
∵绿地AEF的面积不超过400m2，
∴
（15+x）（
+10）≤400
∴x2-50x+225≤0
∴5≤x≤45
∴20≤AE≤60
（2）由题意，荒地改造的面积最小时，开发商投入的费用最小，此时△AEF的面积最小．
△AEF的面积为
（15+x）（
+10）=
(
+10x+300)≥300，当且仅当
=10x，即x=15，AE=30m时，
开发商投入的费用最小，最小为100×15×10+200×（300-150）=45000元．
| 150 |
| x |
∴AE=15+x，AF=
| 150 |
| x |
∴△AEF的面积为
| 1 |
| 2 |
| 150 |
| x |
∵绿地AEF的面积不超过400m2，
∴
| 1 |
| 2 |
| 150 |
| x |
∴x2-50x+225≤0
∴5≤x≤45
∴20≤AE≤60
（2）由题意，荒地改造的面积最小时，开发商投入的费用最小，此时△AEF的面积最小．
△AEF的面积为
| 1 |
| 2 |
| 150 |
| x |
| 1 |
| 2 |
| 2250 |
| x |
| 2250 |
| x |
开发商投入的费用最小，最小为100×15×10+200×（300-150）=45000元．
点评：本题考查三角形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是确定△AEF的面积．
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