题目内容

如图，某住宅小区在围墙的墙角处有一矩形绿地ABCD，周围均为荒地，开发商欲把墙角处改造扩建成一个更大的绿地三角形花园AEF，要求EF过点C，若AB长15m，AD长10m．
（1）要使绿地AEF的面积不超过400m²，则AE的长应在什么范围内？
（2）若在改造扩建过程中，原绿地改造的费用为每平方100元，旁边荒地改造的费用为每平方200元，则当AE的长度是多少时，开发商投入的费用最小？并求出最小费用．

解：（1）设BE=xm，则DF= $\text{[math]}$ m
∴AE=15+x，AF= $\text{[math]}$ +10
∴△AEF的面积为 $\text{[math]}$ （15+x）（ $\text{[math]}$ +10）m²，
∵绿地AEF的面积不超过400m²，
∴ $\text{[math]}$ （15+x）（ $\text{[math]}$ +10）≤400
∴x²-50x+225≤0
∴5≤x≤45
∴20≤AE≤60
（2）由题意，荒地改造的面积最小时，开发商投入的费用最小，此时△AEF的面积最小．
△AEF的面积为 $\text{[math]}$ （15+x）（ $\text{[math]}$ +10）= $\text{[math]}$ ≥300，当且仅当 $\text{[math]}$ ，即x=15，AE=30m时，
开发商投入的费用最小，最小为100×15×10+200×（300-150）=45000元．
分析：（1）设BE的长，求出DF的长，进而可得△AEF的面积，利用绿地AEF的面积不超过400m²，建立不等式，即可求得AE的范围；
（2）由题意，荒地改造的面积最小时，开发商投入的费用最小，此时△AEF的面积最小．
点评：本题考查三角形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是确定△AEF的面积．