题目内容
（2013•长春一模）椭圆
+
=1(a＞b＞0)的离心率为
，右焦点到直线x+y+
=0的距离为2
，过M（0，-1）的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若直线l交x轴于N，
=-
，求直线l的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 6 |
| 3 |
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若直线l交x轴于N，
| NA |
| 7 |
| 5 |
| NB |
分析：（Ⅰ）根据右焦点到直线x+y+
=0的距离为2
，可得
=2
，利用椭圆
+
=1(a＞b＞0)的离心率为
，可得
=
，从而可得a=2
，b=
=
，故可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用
=-
，可得(x1-x0，y1)=-
(x2-x0，y2），设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）．与椭圆方程联立
，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1-8k2=0，由此即可求得直线l的方程．
| 6 |
| 3 |
|c+
| ||
|
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
| 2 |
| a2-c2 |
| 2 |
（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用
| NA |
| 7 |
| 5 |
| NB |
| 7 |
| 5 |
|
解答：解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）
∵右焦点到直线x+y+
=0的距离为2
，
∴
=2
∴c=
∵椭圆
+
=1(a＞b＞0)的离心率为
，
∴
=
∴a=2
∴b=
=
∴椭圆的方程为
+
=1；
（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）
∵
=-
，
∴(x1-x0，y1)=-
(x2-x0，y2）
∴y1=-
y2①
易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立
于是设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）．
与椭圆方程联立
，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1-8k2=0②
∴y1+y2=-
③y1y2=
④
由①③可得y2=
，y1=-
代入④整理可得：8k4+k2-9=0
∴k2=1
此时②为5y2+2y-7=0，判别式大于0
∴直线l的方程为y=±x-1
∵右焦点到直线x+y+
| 6 |
| 3 |
∴
|c+
| ||
|
| 3 |
∴c=
| 6 |
∵椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
∴
| c |
| a |
| ||
| 2 |
∴a=2
| 2 |
∴b=
| a2-c2 |
| 2 |
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 2 |
（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）
∵
| NA |
| 7 |
| 5 |
| NB |
∴(x1-x0，y1)=-
| 7 |
| 5 |
∴y1=-
| 7 |
| 5 |
易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立
于是设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）．
与椭圆方程联立
|
∴y1+y2=-
| 2 |
| 4k2+1 |
| 1-8k2 |
| 4k2+1 |
由①③可得y2=
| 5 |
| 4k2+1 |
| 7 |
| 4k2+1 |
∴k2=1
此时②为5y2+2y-7=0，判别式大于0
∴直线l的方程为y=±x-1
点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行解题．
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