Question

已知数列{a_n}中，．（1）求a₂，a₃，a₄的值；（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

解：（1）通过n=1，=，n=2，当=，当n=3，利用=．
所以a₂，a₃，a₄的值分别为：．
（2）由（1）可知数列的前4项为：；分子为正自然数列，分母为正自然数加2，所以猜想a_n的表达式为：．
证明：①当n=1时，显然成立，
②假设n=k时，猜想成立，即：，
那么，n=k+1时，===．
就是说，n=k+1时猜想成立．由①②可知对于n∈N₊时猜想成立．
分析：（1）通过n=1，2，3，利用求出a₂，a₃，a₄的值即可．
（2）根据（1）数列前4项的数值特征，猜想a_n的表达式，利用数学归纳法加验证n=1时猜想成立，然后假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立．
点评：本题是中档题，考查已知数列的递推关系式，求出数列的前几项，猜想通项公式，利用数学归纳法证明猜想成立，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．