Question

12．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=$\frac{ax}{x+1}$．
（1）若a=e，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数h（x）的导数，分别令h′（x）＞0，h′（x）＜0，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为H（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+1}$≥0在（-1，+∞）恒成立，求出函数的最小值，从而求出a的值．

解答 解：（1）h（x）=ln（x+1）-$\frac{ex}{x+1}$，
∴h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{e}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{x+1-e}{{（x+1）}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞e-1，
令h′（x）＜0，解得：-1＜x＜e-1，
∴函数h（x）在（-1，e-1）递减，在（e-1，+∞）递增；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，
即H（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+1}$≥0在（-1，+∞）恒成立，
∵H′（x）=$\frac{x+1-a}{{（x+1）}^{2}}$，
a≤0时，H（x）在（-1，+∞）单调递增，H（x）≥0在（-1，+∞）不恒成立，
a＞0时，令H′（x）＞0，解得：x＞a-1，
令H′（x）＜0，解得：-1＜x＜a-1，
∴H（x）在（-1，a-1）递减，在（a-1，+∞）递增，
∴只需H（x）_最小值=H（a-1）=lna-（a-1）≥0即可，
显然a=1时，不等式成立，
故a=1．

点评 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．