题目内容
下面有四个命题：①若
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
②一平面内两条曲线的方程分别是f1（x，y）=0，f2（x，y）=0，它们的交点是P（x0，y0），则方程f1（x，y）+f2（x，y）=0的曲线经过点P；
③经过一定点且和一条已知直线垂直的所有直线都在同一平面内；
④
| lim |
| x→1 |
| x2+b |
| x-1 |
其中真命题的序号是
分析：①由|
+
|=|
-
|平方，化简可得
⊥
；②把点P（x0，y0）的坐标代入方程f1（x，y）+f2（x，y）=0可得证；③用反证法可证；④把b=-1代入
验证，可证．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| lim |
| x→1 |
| x2+b |
| x-1 |
解答：解：①充分性：|
+
|=
，|
-
|=
∵|
+
|=|
-
|∴(
+
)2=(
-
)2
即
•
=0
∴
⊥
；必要性：∵
⊥
；∴
•
=0
∴(
+
)2=(
-
)2
∴|
+
|=|
-
|
②∵点P（x0，y0）是曲线f1（x，y）=0，f2（x，y）=0的交点
∴f1（x0，y0）=0，f2（x0，y0）=0
∴f1（x0，y0）+f2（x0，y0）=0
即方程f1（x，y）+f2（x，y）=0的曲线经过点P；
③假设点P，直线l，过P点有PA，PB，…，PN都垂直直线l．
求证：PA，PB，…，PN都在同一平面内．
证明：∵PA∩PB=P，且PA⊥l，PB⊥l
∴l⊥面PAB．
设过点P的直线PN⊥l
且PN不在面PAB内
∵PA∩PN=P，且PA⊥l，PN⊥l
∴l⊥面PAN．
则过点P有两个平面和l垂直
这与过一点只能有一个平面和一条直线垂直矛盾
∴假设PN不在面PAB内错误，原命题成立．
④若b=-1则
=
=
(x+1)=2
∵
=2，∴b=-1
| a |
| b |
(
|
| a |
| b |
(
|
∵|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
即
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴(
| a |
| b |
| a |
| b |
∴|
| a |
| b |
| a |
| b |
②∵点P（x0，y0）是曲线f1（x，y）=0，f2（x，y）=0的交点
∴f1（x0，y0）=0，f2（x0，y0）=0
∴f1（x0，y0）+f2（x0，y0）=0
即方程f1（x，y）+f2（x，y）=0的曲线经过点P；
③假设点P，直线l，过P点有PA，PB，…，PN都垂直直线l．
求证：PA，PB，…，PN都在同一平面内．
证明：∵PA∩PB=P，且PA⊥l，PB⊥l
∴l⊥面PAB．
设过点P的直线PN⊥l
且PN不在面PAB内
∵PA∩PN=P，且PA⊥l，PN⊥l
∴l⊥面PAN．
则过点P有两个平面和l垂直
这与过一点只能有一个平面和一条直线垂直矛盾
∴假设PN不在面PAB内错误，原命题成立．
④若b=-1则
| lim |
| x→1 |
| x2-1 |
| x-1 |
| lim |
| x→1 |
| (x+1)(x-1) |
| x-1 |
| lim |
| x→1 |
∵
| lim |
| x→1 |
| x2+b |
| x-1 |
点评：解决有关向量模有关命题，平方是有效的解决策略和方法，证明两个向量垂直等价于它们的数量积为0；点的坐标是曲线方程的解，则点就在该曲线上；反证法证明问题的步骤和方法．属基础题．
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； 2）
；
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