题目内容

已知向量 $数学公式$ =（sinx，-1），向量 $数学公式$ =（ $数学公式$ cosx，- $数学公式$ ），函数f（x）=（ $数学公式$ + $数学公式$ ）• $数学公式$ ．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2 $数学公式$ ，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0， $数学公式$ ]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．

解：∵向量 $\text{[math]}$ =（sinx，-1），向量 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ cosx，- $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（sinx+ $\text{[math]}$ cosx，- $\text{[math]}$ ），
由此可得f（x）=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =sinx（sinx+ $\text{[math]}$ cosx）+ $\text{[math]}$ =sin²x+ $\text{[math]}$ sinxcosx+ $\text{[math]}$
∵sin²x= $\text{[math]}$ ，sinxcosx= $\text{[math]}$ sin2x
∴f（x）= $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ cos2x+2=sin（2x- $\text{[math]}$ ）+2
（1）根据三角函数的周期公式，得周期T= $\text{[math]}$ =π；
（2）f（A）=sin（2A- $\text{[math]}$ ）+2，当A∈[0， $\text{[math]}$ ]时，f（A）的最大值为f（ $\text{[math]}$ ）=3
∴锐角A= $\text{[math]}$ ，根据余弦定理，得cosA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得b²+c²-a²=bc
∵a=2 $\text{[math]}$ ，c=4，
∴b²+16-12=4b，解之得b=2
根据正弦定理，得△ABC的面积为：S= $\text{[math]}$ bcsinA= $\text{[math]}$ ×2×4sin $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由向量的数量积的坐标运算结合三角函数的降次公式、辅助角公式，将函数化简整理得f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）+2，由此不难用三角函数的周期公式，求出f（x）的最小正周期T；
（2）根据正弦函数的单调性与最值，得到f（x）在x= $\text{[math]}$ 时取得最大值，从而得到A= $\text{[math]}$ ，在△ABC内用余弦定理列出关于边b的方程，解之即得b的值，最后用面积正弦定理的公式可求出△ABC的面积S．
点评：本题以向量的数量积运算为载体，着重考查了三角函数的降次公式、辅助角公式和用正余弦定理解三角形等知识，属于基础题．