Question

（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=

1

2

ax²+（1-a）x-1-lnx，a∈R．
（1）若函数在区间（2，4）上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）求函数的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）首先分析求出函数的定义域，对f（x）求导可得f′（x）=ax+1-a-

1

x

，根据题意，有f′（x）=ax+1-a-

1

x

≥0，变形可得a（x-1）≥-

x-1

x

，结合x的范围，可得a≥-

1

x

，由反比例函数的性质，可得答案；
（2）对f（x）求导变形可得f′（x）=（ax+1）•

x-1

x

，解令f′（x）=0，可得x的值，进而分①当a＜-1，②当a=-1③当-1＜a＜0，④当a=0，⑤a＞0，五种情况讨论f′（x）≥0的解集，综合可得答案．

解答：解：（1）根据题意，函数定义域为{x|x＞0}，
f′（x）=ax+1-a-

1

x

，
已知函数在区间（2，4）上存在单调递增区间，
由f′（x）=ax+1-a-

1

x

≥0有解，有a（x-1）≥-

x-1

x

又由2＜x＜4，则x-1＞0，
则有a≥-

1

x

＞-

1

4

，
故a的取值范围是（-

1

4

，+∞）．
（2）f′（x）=ax+1-a-

1

x

=（ax+1）•

x-1

x

，
令f′（x）=0，可得x=0、-1、或-

1

a

，
①当a＜-1时，由f′（x）≥0得-

1

a

≤x≤1，f（x）的单调增区间为[-

1

a

，1]；
②当a=-1时，f′（x）=-

(x-1)2

x

≤0，f（x）无单调增区间；
③当-1＜a＜0时，由f′（x）≥0得1≤x≤-

1

a

，f（x）的单调增区间为[1，-

1

a

]；
④当a=0时，由f′（x）=

x-1

x

≥0得x≥1，f（x）的单调增区间为[1，+∞）；
⑤当a＞0时，由f′（x）=（ax+1）•

x-1

x

≥0得x≥1，f（x）的单调增区间为[1，+∞）．
综上所述当a＜-1时，f（x）的单调增区间为[-

1

a

，1]；
当a=-1时，f（x）无单调增区间；
当-1＜a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，-

1

a

]；
当a≥0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性与其导数的关系，注意解题时要先分析函数的定义域．