题目内容
已知点F是双曲线
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=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
分析：根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．
解答：
解：根据双曲线的对称性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
∵|AF|=
=
，|EF|=a+c
∴
＜a+c，即2a2+ac-c2＞0
两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）
故选：B
解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
∵|AF|=
| b2 |
| a |
| c2-a2 |
| a |
∴
| c2-a2 |
| a |
两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）
故选：B
点评：本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
练习册系列答案
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