题目内容

在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，设 $数学公式$ =（sin（ $数学公式$ -A），1）， $数学公式$ =（2sin（ $数学公式$ +1），-1），a=2 $数学公式$ ，且 $数学公式$ • $数学公式$ =- $数学公式$ ．
（1）若b=2 $数学公式$ ，求△ABC的面积；
（2）求b+c的最大值．

解：（1） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2sin（ $\text{[math]}$ -A）sin（ $\text{[math]}$ +A）-1
=2sin（ $\text{[math]}$ -A）cos（ $\text{[math]}$ -A）-1
=sin（ $\text{[math]}$ -2A）-1=cos2A-1=- $\text{[math]}$ ，
∴cos2A=- $\text{[math]}$ ，
∵0＜A＜ $\text{[math]}$ ，∴0＜2A＜π，∴2A= $\text{[math]}$ ，A= $\text{[math]}$
设△ABC的外接圆半径为R，由a=2RsinA得2 $\text{[math]}$ =2R× $\text{[math]}$ ，∴R=2
由b=2RsinB得sinB= $\text{[math]}$ ，又b＜a，∴B= $\text{[math]}$ ，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△ABC的面积为S= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =3+ $\text{[math]}$ ．
（2）解法1：由a²=b²+c²-2bccosA，得b²+c²-bc=12，
∴（b+c）²=3bc+12≤3（ $\text{[math]}$ ）²+12，
∴（b+c）²≤48，即b+c≤4 $\text{[math]}$ ，（当且仅当b=c时取等号）
从而b+c的最大值为4 $\text{[math]}$ ．
解法2：由正弦定理得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4，又B+C=π-A= $\text{[math]}$ ，
∴b+c=4（sinB+sinC）=4[sinB+sin（ $\text{[math]}$ -B）]=6sinB+2 $\text{[math]}$ cosB=4 $\text{[math]}$ sin（B+ $\text{[math]}$ ），
∴当B+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即B= $\text{[math]}$ 时，b+c取得最大值4 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）通过向量的数量积二倍角的余弦函数，求出A的二倍角的余弦值，然后求出A．通过正弦定理求出R，然后求出三角形的面积．
（2）解法1：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，结合不等式求出b+c的最大值为4 $\text{[math]}$ ．
解法2：由正弦定理得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用两角和与差的三角函数，根据角的范围，求出b+c的最大值．
点评：本题考查正弦定理与余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，转化思想的应用．