题目内容
袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球,今从袋子里随机取球.(Ⅰ)若有放回地摸出4个球,求取出的红球数不小于黑球数的概率P1;
(Ⅱ)若无放回地摸出4个球,
①求取出的红球数ξ的概率分布列和数学期望;
②求取出的红球数不小于黑球数的概率P2,并比较P1、P2的大小.
分析:(Ⅰ)若有放回地摸出4个球,测符合独立重复试验,利用独立重复试验的概率求解即可.
(Ⅱ)①若无放回地摸出4个球,则用古典概型求概率即可,随机变量ξ的所有取值为0,1,2,3分别求概率,列出分布列,再由期望公式求期望即可;②由①中的分布列可求出P2,比较P1、P2的大小即可.
(Ⅱ)①若无放回地摸出4个球,则用古典概型求概率即可,随机变量ξ的所有取值为0,1,2,3分别求概率,列出分布列,再由期望公式求期望即可;②由①中的分布列可求出P2,比较P1、P2的大小即可.
解答:解:(Ⅰ)依题意,摸出的红球个数为可以为2,3,4,
则P1=
(
)4+
(
)3+
(
)2(
)2=
(Ⅱ)①随机变量ξ的所有取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=
=
,P(ξ=1)=
=
,P(ξ=2)=
=
,
P(ξ=3)=
=

∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
.
②P2=
+
=
易知P2>P1.
则P1=
C | 4 4 |
3 |
7 |
C | 3 4 |
4 |
7 |
3 |
7 |
C | 2 4 |
3 |
7 |
4 |
7 |
1377 |
2401 |
(Ⅱ)①随机变量ξ的所有取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=
| ||
|
1 |
35 |
| ||||
|
12 |
35 |
| ||||
|
18 |
35 |
P(ξ=3)=
| ||||
|
4 |
35 |

∴Eξ=0×
1 |
35 |
12 |
35 |
18 |
35 |
4 |
35 |
12 |
7 |
②P2=
4 |
35 |
18 |
35 |
32 |
35 |
易知P2>P1.
点评:本题考查独立重复试验的概率、古典概型、离散型随机事件的分布列和期望等知识,注意有放回和无放回的区别.

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