Question

设各项为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₄=1，S₈=17．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在最小正整数m，使得当n＞m时，an＜

2011

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恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由S₄=1，S₈=17知q≠1，
则

a1(1-q4)

1-q

=1，

a1(1-q8)

1-q

=17，相除得：

1-q8

1-q4

=17，解得q⁴=16，所以q=2或q=-2（舍去），
将q=2代入得a₁=

1

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，则数列{a_n}的通项公式为a_n=

2n-1

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；
（Ⅱ）由a_n=

2n-1

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＜

2011

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，得2^n-1＜2011，
而2¹⁰＜2011＜2¹¹，所以n-1≤10，即n≤11，
因此，不存在最小的正整数，使得n≥m时，a_n＞

2011

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恒成立．