题目内容
若圆过点且与直线相切,设圆心的轨迹为曲线,、为曲线上的两点,点,且满足.
(1)求曲线的方程;
(2)若,直线的斜率为,过、两点的圆与抛物线在点处有共同的切线,求圆的方程;
(3)分别过、作曲线的切线,两条切线交于点,若点恰好在直线上,求证:与均为定值.
21.解:(1)依题意,点到定点的距离等于到定直线的距离,所以点的轨迹为抛物线,曲线的方程为; …………………………………………………………3分
(2)直线的方程是,即,
由得点、的坐标是或,………………………………5分
当、时,由得,,
所以抛物线在点处切线的斜率为,
直线的方程为,即…………①
线段的中点坐标为,中垂线方程为,即…………②
由①、②解得, …………………………………………………………7分
于是,圆的方程为,
即 , ………………………………………………………8分
当、时,抛物线在点处切线的斜率为,此时切线与垂直,所求圆为以为直径的圆,可求得圆为, ……9分
(3)设,,,过点的切线方程为,
即,同理可得,所以,,……10分
又=,所以直线的方程为,
即,亦即,所以,………………………………………11分
而,,所以
. …………………………………13分
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