题目内容

若圆过点且与直线相切,设圆心的轨迹为曲线为曲线上的两点,点,且满足.

(1)求曲线的方程;

(2)若,直线的斜率为,过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线,求圆的方程;

(3)分别过作曲线的切线,两条切线交于点,若点恰好在直线上,求证:均为定值.

21.解:(1)依题意,点到定点的距离等于到定直线的距离,所以点的轨迹为抛物线,曲线的方程为;       …………………………………………………………3分

(2)直线的方程是,即

得点的坐标是,………………………………5分

时,由,

 所以抛物线在点处切线的斜率为

直线的方程为,即…………①

线段的中点坐标为,中垂线方程为,即…………②

由①、②解得,       …………………………………………………………7分

于是,圆的方程为

即  , ………………………………………………………8分

时,抛物线在点处切线的斜率为,此时切线与垂直,所求圆为以为直径的圆,可求得圆为,  ……9分

(3)设,,过点的切线方程为

,同理可得,所以,,……10分

=,所以直线的方程为

,亦即,所以,………………………………………11分

,,所以

.               …………………………………13分

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