Question

设函数f（x）=3^1-x-1，函数g（x）=ax²+5x-2a．
（1）求f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）在[0，1]上单调递减，可求函数的值域；
（2）对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立转化为两个函数值域的关系M⊆N，列出不等式求出a的范围．

解答：解：（1）∵f（x）在[0，1]上单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=0，f（x）_max=f（0）=2，
∴f（x）在[0，1]上的值域[0，2]…..（4分）
（2）f（x）在[0，1]上的值域[0，2]，函数g（x）在[0，1]上的值域D，则[0，2]⊆D．
①a=0，g（x）=5x，值域[0，5]，符合条件； …（6分）
②a＞0，对称轴x=-

5

2a

＜0，∴函数g（x）在[0，1]上单调递增，g（x）_max=g（1）=5-a
由5-a≥2，∴a≤3，∴0＜a≤3    …..（8分）
③a＜0，对称轴x=-

5

2a

＞0
当0＜-

5

2a

＜ 1即a＜-

5

2

时，最小值在x=0或x=1处取，不合题意
当-

5

2a

≥1即-

5

2

≤a＜0时，函数g（x）在[0，1]上单调递增，不合题意…．（12分）
综上，a∈[0，3]…（13分）

点评：本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想