题目内容

（1）设x1，x2，x3均为正实数，由（1）x1•
1
x1
≥1和（2）（x1+x2）（
1
x1
+
1
x2
≥4）成立，可以推测（x1+x2+x3）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
≥
 
；
（2）观察（1）中不等式的规律，由此归纳出一般性结论是
 
．
分析：（1）认真观察各式，等式右边的数是：12，22，32，…，利用此规律求解填空；
（2）观察所给不等式，都是写成（x1+x2+…xn）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
）≥n2（xi∈R+，i=1，2，3…，n）的形式，从而即可求解．
解答：解：（1）认真观察各式，
等式右边的数是：12，22，32，…，
利用此规律可以推测（x1+x2+x3）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
）≥9；
（2）观察所给不等式，
都是写成（x1+x2+…xn）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
）≥n2（xi∈R+，i=1，2，3…，n）的形式，
从而此归纳出一般性结论是：（x1+x2+…xn）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
）≥n2（xi∈R+，i=1，2，3…，n）．
故答案为：（1）9；（2）（x1+x2+…xn）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
）≥n2（xi∈R+，i=1，2，3…，n）．
点评：本题考查了归纳推理、分析能力，认真观察各式，根据所给式子的结构特点的变化情况总结规律是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
下列结论正确的是
 
．
①不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}
②不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}
③不等式（x-1）2＜2的解集为{x|1-
2
＜x＜1+
2
}
④设x1，x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2，则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}
已知函数g（x）=logax，其中a＞1．
（Ⅰ）当x∈[0，1]时，g（ax+2）＞1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）设m（x）是定义在[s，t]上的函数，在（s，t）内任取n-1个数x1，x2，…，xn-2，xn-1，设x1＜x2＜…＜xn-2＜xn-1，令s=x0，t=xn，如果存在一个常数M＞0，使得
n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立，则称函数m（x）在区间[s，t]上的具有性质P．
试判断函数f（x）=|g（x）|在区间[
1
a
，a2]上是否具有性质P？若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由．
（注：
n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|=|m(x1)-m(x0)|+|m(x2)-m(x1)|+…+|m(xn)-m(xn-1)|）
用[a]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设x1，x2分别是方程x+2x=3及x+log2（x-1）=3的根，则[x1+x2]=（　　）
已知函数f(x)=
x
1+x2
，x∈(0，1)．
（1）设x1，x2∈（0，1），证明：（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]≥0；
（2）设x∈（0，1），证明：
3x2-x
1+x2
≥
9
10
(x-
1
3
)；
（3）设x1，x2，x3都是正数，且x1+x2+x3=1，求u=
3
x
2
1
-x1
1+
x
2
1
+
3
x
2
2
-x2
1+
x
2
2
+
3
x
2
3
-x3
1+
x
2
3
的最小值．
设函数f（x）=x2+（m-1）x-2m-1（m∈R），
（1）设x1，x2为方程f（x）=0的两实根，求g（m）=x12+x22的最小值；
（2）是否存在正数a和常数m，使得x∈[0，a]时，f（x）的值域也为[0，a]？若有，求出所有a和m的值；若没有，也请说明理由．

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