题目内容

已知常数m＞0，向量 $数学公式$ =（0，1），向量 $数学公式$ =（m，0），经过点A（m，0），以 $数学公式$ 为方向向量的直线与经过点B（-m，0），以 $数学公式$ 为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．
（1）求点P的轨迹E；
（2）若m=2 $数学公式$ ，F（4，0），问是否存在实数k使得以Q（k，0）为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E在x轴上方交于M、N两点，并且|MF|+|NF|=3 $数学公式$ ．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．

解：（1）∵λ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（ m，λ），
∴直线AP方程为 $\text{[math]}$ ①
又λ $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ =（λm，-4），∴直线NP方程为 $\text{[math]}$ ②
由①、②消去λ得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
故当m=2时，轨迹E是以（0，0）为圆心，以2为半径的圆：x²+y²=4；
当m＞2时，轨迹E是以原点为中心，以 $\text{[math]}$ 为焦点的椭圆：
当0＜m＜2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为 $\text{[math]}$ 的椭圆．
（2）假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：（x-k）²+y²=（4-k）²；
椭圆E： $\text{[math]}$ ；其右焦点为F（4，0 ），且e= $\text{[math]}$ ．
由圆Q与椭圆E的方程联立得2y²-5kx+20k-30=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ③
△=25k²-4×2（20k-30），
又|MF|= $\text{[math]}$ ，|NF|= $\text{[math]}$ ，而|MF|+|NF|=3 $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ ，
由此可得 $\text{[math]}$ ④
由③、④得k=1，且此时△＞0．故存在实数k=1满足要求．
分析：（1）由λ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（m，λ），知直线AP方程为 $\text{[math]}$ ．由λ $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ =（λm，-4），知直线NP方程为 $\text{[math]}$ ；所以 $\text{[math]}$ ，由此结合m的取值情况能够求出点P的轨迹E．
（2）假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：（x-k）²+y²=（4-k）²；椭圆E： $\text{[math]}$ ；其右焦点为F（4，0 ），且e= $\text{[math]}$ ．由圆Q与椭圆E的方程联立得2y²-5kx+20k-30=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ．△=25k²-4×2（20k-30），由此能求出存在实数k=1满足要求．
点评：本题考查轨迹方程的求法和判断k是否存在．解题时要注意分类讨论思想和圆锥曲线性质的灵活运用．