题目内容

已知△ABC中,角A、B、C所对边为a、b、c,其中cosA=
5
13
tan
B
2
+cot
B
2
=
5
2
c=
14
3

(1)求tanB.
(2)求△ABC的面积.
分析:(1)由题意求出sinA,切化弦求出sinB,讨论B的范围,求出tanB.
(2)利用A+B+C=π,求出sinC=sin(A+B)的值,利用正弦定理求出a,然后求出三角形的面积.
解答:解:(1)△ABC中,由cosA=
5
13
知A为锐角,
sinA=
1-cos2A
=
1-(
5
13
)
2
=
12
13
(1分)
tan
B
2
+cot
B
2
=
sin
B
2
cos
B
2
+
cos
B
2
sin
B
2
=
1
sin
B
2
cos
B
2

=
2
sinB
=
5
2

sinB=
4
5
(3分)
若B为钝角sinB=sin(π-B)<sinA
得π-B<A即A+B>π这不可能(4分)
故B为锐角,cosB=
1-sin2B
=
3
5
(5分)
tanB=
sinB
cosB
=
4
3
(6分)
(2)△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
12
13
×
3
5
+
5
13
×
4
5
=
56
65
(8分)
由正弦定理
a
sinA
=
c
sinC
a
12
13
=
14
3
56
65
?a=5
(10分)
S△ABC=
1
2
ac.sinB=
1
2
×5×
14
3
×
4
5
=
28
3
(12分)
点评:本题是中档题,考查同角三角函数的基本关系式、正弦定理的应用,三角形面积的求法,考查计算能力.
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