Question

已知△ABC中，角A、B、C所对边为a、b、c，其中cosA=

5

13

，tan

B

2

+cot

B

2

=

5

2

，c=

14

3

．
（1）求tanB．
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由题意求出sinA，切化弦求出sinB，讨论B的范围，求出tanB．
（2）利用A+B+C=π，求出sinC=sin（A+B）的值，利用正弦定理求出a，然后求出三角形的面积．

解答：解：（1）△ABC中，由cosA=

5

13

知A为锐角，
则sinA=

1-cos2A

=

1-( 5 13 )2

=

12

13

（1分）
又tan

B

2

+cot

B

2

=

sin B 2

cos B 2

+

cos B 2

sin B 2

=

1

sin B 2 cos B 2

=

2

sinB

=

5

2

得sinB=

4

5

（3分）
若B为钝角sinB=sin（π-B）＜sinA
得π-B＜A即A+B＞π这不可能（4分）
故B为锐角，cosB=

1-sin2B

=

3

5

（5分）
∴tanB=

sinB

cosB

=

4

3

（6分）
（2）△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

12

13

×

3

5

+

5

13

×

4

5

=

56

65

（8分）
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得

a

12 13

=

14 3

56 65

?a=5（10分）
∴S△ABC=

1

2

ac．sinB=

1

2

×5×

14

3

×

4

5

=

28

3

（12分）

点评：本题是中档题，考查同角三角函数的基本关系式、正弦定理的应用，三角形面积的求法，考查计算能力．