Question

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（I）设P为线段AC的中点，试在线段AB上求一点E，使得PE⊥OA；
（II）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以O为坐标原点，分别以OA、OF、OC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设

AE

=λ

AB

，我们求出向量

PE

，

OA

的根据PE⊥OA，我们易构造关于λ的方程，解方程求出λ的值，进而求出P点的位置；
（II）我们求出平面ABC的法向量和平面OAC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

解答：解：在平面内AOB过点O作OF⊥OA交AB于点F．
以O为坐标原点，分别以OA、OF、OC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（如图）．…（1分）
则A（1，0，0）、C（0，0，1）、B（-

1

2

，

3

2

，0）、P（

1

2

，0，

1

2

）．…．…..（3分）
（I）设

AE

=λ

AB

（0＜λ＜1），因为

AB

=（-

3

2

，

3

2

，0），
所以

OE

=

OA

+

AE

=（1，0，0）+λ（-

3

2

，

3

2

，0）=（1-

3

2

λ，

3

2

λ，0），

PE

=

OE

-

OP

=（

1

2

-

3

2

λ，

3

2

λ，-

1

2

），
因为PE⊥OA，所以

PE

•

OA

=0．即

1

2

-

3

2

λ=0，解得λ=

1

3

．
故所求点为E（

1

2

，

3

6

，0）．
即点E为线段AB的三等分点（靠近点A）．…（7分）
（II）设平面ABC的法向量为

m

=（x，y，z），

CA

=（1，0，-1），
由

m ⊥ AC m ⊥ AB

得

x-z=0 - 3 2 x+ 3 2 y=0

．
令z=1得x=1，y=

3

．即

m

=（1，

3

，1）．…..（9分）
又

n

=（0，1，0）是平面OAC的法向量，…（10分）
所以cos＜

m

，

n

＞=

15

5

．
故二面角O-AC-B的平面角的余弦值为

15

5

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，空间中直线与直线之间的位置关系，其中（I）的关键是根据PE⊥OA，构造关于λ的方程，解方程求出λ的值，（II）的关键是求出平面ABC的法向量和平面OAC的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题．