题目内容

如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1.
(1)求四面体ABOC的体积.
(2)设P为AC的中点,证明:在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算
ABAQ
的值.
分析:(1)由已知易得OC⊥平面OAB,即OC为四面体C-AOB底面AOB上的高,代入棱锥体积公式,可得答案.
(2)要计算
AB
AQ
的值,我们可在平面OAB内作ON⊥AB交AB于N,连接NC.则根据已知条件结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ,则易求出
AB
AQ
的值.
解答:解:(1)∵在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,OA∩OB=0.OA,OB?平面OAB,
∴OC⊥平面OAB,
即OC为四面体C-AOB底面AOB上的高,
又∵∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1.
∴S△OAB=
1
2
•OA•OB•sin∠AOB=
3
4

故四面体ABOC的体积V=
1
3
OC•S△OAB=
3
12

(2)在平面OAB内作ON⊥AB交AB于N,连接NC.
又OA⊥OC,∴OA⊥平面ONC
∵NC?平面ONC,
∴OA⊥NC.
取Q为AN的中点,则PQ∥NC.
∴PQ⊥OA
在等腰△AOB中,∠AOB=120°,
∴∠OAB=∠OBA=30°
在Rt△AON中,∠OAN=30°,
∴ON=
1
2
AN=AQ
在△ONB中,∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO,
∴NB=ON=AQ.
AB
AQ
=3
点评:本题考查的知识点是棱锥的体积,线段长度(空间两点之间的距离),(1)的关键是证出OC⊥平面OAB,而(2)的关键是根据等腰三角形三线合一得到ON=
1
2
AN=AQ.
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