Question

如图，设P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是曲线y=

x

上的点列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…都是正三角形，设它们的边长为a₁，a₂，…，a_n，…，求证：a₁+a₂+…+a_n=

1

3

n（n+1）．

Answer 1

分析：（1）由题意知P₁（

1

3

，

3

3

）．由此可知a₁=|OP₁|=

2

3

．而

1

3

×1×2=

2

3

，命题成立．
（2）假设n=k（k∈N*）时命题成立，即a₁+a₂++a_k=

1

3

k（k+1），则点Q_k的坐标为（

1

3

k（k+1），0），直线Q_kP_k+1的方程为y=

3

[x-

1

3

k（k+1）]．然后用数学归纳法进行证明．

解答：证明：（1）当n=1时，点P₁是直线y=

3

x与曲线y=

x

的交点，
∴可求出P₁（

1

3

，

3

3

）．
∴a₁=|OP₁|=

2

3

．而

1

3

×1×2=

2

3

，命题成立．
（2）假设n=k（k∈N*）时命题成立，即a₁+a₂++a_k=

1

3

k（k+1），
则点Q_k的坐标为（

1

3

k（k+1），0），
∴直线Q_kP_k+1的方程为y=

3

[x-

1

3

k（k+1）]．
代入y=

x

，解得P_k+1点的坐标为（

(k+1)2

3

，

3

3

（k+1））
∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=

3

3

（k+1）•

2

3

=

2

3

（k+1）．
∴a₁+a₂++a_k+a_k+1=

1

3

k（k+1）+

2

3

（k+1）=

1

3

（k+1）（k+2）．
∴当n=k+1时，命题成立．
由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立．

点评：本题的关键是求出P_k+1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|Q_kP_k+1|．