题目内容
【题目】已知椭圆
＝1(a>b>0)的离心率e＝
，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a，0)．若|AB|＝
，求直线l的倾斜角．
【答案】（1）
＋y2＝1（2）
或
【解析】(1)由e＝
＝
，解得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.
由题意可知
×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组
得
所以椭圆的方程为
＋y2＝1.
(2)由(1)可知点A(－2，0)，设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A、B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0，
由－2x1＝
，得x1＝
，从而y1＝
，
故|AB|＝
＝
.
由|AB|＝
，得
＝
.整理得32k4－9k2－23＝0，
即(k2－1)(32k2＋23)＝0，解得k＝±1.所以直线l的倾斜角为
或
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