Question

已知椭圆方程为

y2

2

+x2=1，斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+1，由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

．可得y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

．由此能求出m的取值范围．
（Ⅱ）设椭圆上焦点为F，则S△MPQ=

1

2

•|FM|•|x1-x2|=

2m(1-m)3

，所以△MPQ的面积为

2

m(1-m)3

（0＜m＜

1

2

）．由此能求出△MPQ的面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+1，由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

．
可得y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

．…（3分）
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为(

-k

k2+2

，

2

k2+2

)，
由题意有k_MN•k=-1，可得

m- 2 k2+2

k k2+2

•k=-1．可得m=

k

k2+1

，
又k≠0，所以0＜m＜

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）设椭圆上焦点为F，
则S△MPQ=

1

2

•|FM|•|x1-x2|=

2m(1-m)3

…（9分）
所以△MPQ的面积为

2

m(1-m)3

（0＜m＜

1

2

）．
设f（m）=m（1-m）³，则f'（m）=（1-m）²（1-4m）(0，

1

4

)．
可知f（m）在区间(0，

1

4

)单调递增，在区间(

1

4

，

1

2

)单调递减．
所以，当(0，

1

4

)时，f（m）=m（1-m）³有最大值f(

1

4

)=

27

256

．
所以，当时，△MPQ的面积有最大值

3 6

16

．…（12分）

点评：本题考查m的取值范围和求△MPQ面积的最大值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．