题目内容

2.已知函数f(x)=x2-4mx+4m2-1,若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集,实数m的取值范围是(-∞,-1].

分析 可设f(x)=t,根据f(x)的解析式可求出t≥-1,从而由已知条件便可知f(t)<0在t∈[-1,+∞)上无解,可得出判别式△>0,这样m需满足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-4m}{2}<-1}\\{f(-1)=4m+4{m}^{2}≥0}\end{array}\right.$,从而解该不等式组即可得出实数m的取值范围.

解答 解:设f(x)=t,t≥-1,根据题意知f(t)<0,即不等式t2-4mt+4m2-1<0在t∈[-1,+∞)上无解;
△=16m2-4(4m2-1)=4>0;
∴m需满足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-4m}{2}<-1}\\{f(-1)=4m+4{m}^{2}≥0}\end{array}\right.$;
解得m≤-1;
∴实数m的取值范围是(-∞,-1].
故答案为:(-∞,-1].

点评 考查换元法的运用,二次函数图象和x轴交点情况和判别式△的关系,可结合二次函数图象求解.

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