Question

自点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²+y²-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.

Answer 1

【探究】  (1)如图所示，设l和x轴交于B(b,0)，则k_AB=,根据光的反射定律，反射线的斜率k_反=,

∴反射线所在的直线方程为

y= (x-b).

即  3x-(b+3)y-3b=0.

∵已知圆x²+y²-4x-4y+7=0的圆心为C(2，2)，半径为1，

∴.解得b₁=,b₂=1.

∴k_AB=或k_AB=.

∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

(2)已知圆C:x²+y²-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C₁：(x-2)²+(y+2)²=1，其圆心C₁的坐标为(2，-2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C₁相切.

设l的方程为y-3=k(x+3),则,

即  12k²+25k+12=0.∴k₁=,k₂=.

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

(3)设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在直线方程为y=-kx+b，由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切，

∴

消去b得=1(以下与解析(2)同).

【规律总结】 本题是方程思想的典型应用，考查的重点在于设置怎样的未知数，依怎样的性质列方程，解析(1)、(2)属常规方法，解析(3)设置两个未知数，体现了方程的方法在具体运用时的灵活性.