题目内容

已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E： $数学公式$ 有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求直线PF₁的方程；
（2）求椭圆E的方程；
（3）设Q为椭圆E上的一个动点，求证：以QF₁为直径的圆与圆x²+y²=18相切．

解：（1）因为A（3，1）在⊙C上，
所以， $\text{[math]}$ ，m=1．
所以，⊙C：（x-1）²+y²=5．（2分）
易知直线PF₁的斜率存在，设直线PF₁方程：y-4=k（x-4），
即：kx-y+（4-4k）=0
题设有： $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （4分）
$\text{[math]}$ 时，直线PF₁方程 $\text{[math]}$ ，
令y=0，则 $\text{[math]}$ ，不合题意（舍去）
$\text{[math]}$ 时，直线PF₁方程：x-2y+4=0．
令y=0，则x=-4＜0满足题设．
所以，直线PF₁方程为：x-2y+4=0．（6分）
（2）由（1）知F₁（-4，0），
所以，F₂（4，0），a²-b²=16①（7分）
又 $\text{[math]}$
所以， $\text{[math]}$ （9分）
所以，b²=2（10分）
椭圆E的方程： $\text{[math]}$ ．（11分）
（3）设QF₁的中点为M，连QF₂．
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （15分）
所以，以QF₁为直径的圆内切于圆 $\text{[math]}$ ，
即x²+y²=18．（16分）
分析：（1）因为A（3，1）在⊙C上，所以 $\text{[math]}$ ，m=1．所以⊙C：（x-1）²+y²=5．设直线PF₁方程：y-4=k（x-4），由题设知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．由此能求出直线PF₁方程．
（2）由F₁（-4，0），知F₂（4，0），a²-b²=16．由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，b²=2，由此能求出椭圆E的方程．
（3）设QF₁的中点为M，连QF₂． $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能证明以QF₁为直径的圆与圆x²+y²=18相切．
点评：本题考查直线方程和椭圆方程的求法，证明以QF₁为直径的圆与圆x²+y²=18相切．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用圆锥曲线的性质，合理地进行等价转化．