题目内容

F₁、F₂分别为双曲线 $数学公式$ 的左、右焦点，直线l过F₁与双曲线的左支交于A、B两点，△ABF₂面积的最小值为________．

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分析：确定双曲线的焦点坐标，设出AB的方程代入双曲线方程，利用韦达定理表示出△ABF₂面积，再利用导数知识，即可求得△ABF₂面积的最小值
解答：由题意F₁（-3，0），F₂（3，0）
设AB的方程为x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
AB的方程代入双曲线方程，整理可得（5m²-4）y²-30my+25=0
∴y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，y₁y₂= $\text{[math]}$
∴|y₁-y₂|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵直线l过F₁与双曲线的左支交于A、B两点，∴y₁y₂＜0，∴5m²-4＜0
∴|y₁-y₂|= $\text{[math]}$
∴△ABF₂面积为 $\text{[math]}$ ×|F₁F₂|×|y₁-y₂|= $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令y=-5t+ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，∴y=-5t+ $\text{[math]}$ 在[1， $\text{[math]}$ ）上单调递减，∴0＜y≤4
∴ $\text{[math]}$ ≥15，即△ABF₂面积的最小值为15
故答案为：15．
点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，正确运用韦达定理，进而表示三角形的面积是关键．