Question

【题目】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（1）求第4局甲当裁判的概率；
（2）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．

则A=A1A2，P（A）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）= ；

（2）解：X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．

B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，

则P（X=0）=P（B1B2 ）=P（B1）P（B2）P（ ）= ．

P（X=2）=P（ B3）=P（ ）P（B3）= ．

P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）= ．

从而EX=0× +1× +2× = ．

【解析】（1）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（2）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．