Question

已知函数f(x)=

( 1 2 )x-1，(x≤0) -x2+2x，(x＞0)

，对于下列命题：
①函数f（x）的最小值是0；
②函数f（x）在R上是单调递减函数；
③若f（x）＞1，则x＜-1；
④若函数y=f（x）-a有三个零点，则a的取值范围是0＜a＜1；
⑤函数y=|f（x）|关于直线x=1对称．
其中正确命题的序号是

③④

．（填上你认为所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：①由于x＞0时，y=-x²+2x为开口向下的二次函数，故①错；
②由于x＞0时，y=-x²+2x在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，故②错；
③由于x＞0时，y=-x²+2x≤1，故f（x）＞1，即是(

1

2

)x-1＞1，解出即可判断③的对错；
④由于函数y=f（x）-a有三个零点，即是f（x）=a有三个根，故需使a在函数函数y=f（x）的极大值与极小值之间即可；
⑤由于函数f(x)=

( 1 2 )x-1，(x≤0) -x2+2x，(x＞0)

，显然函数y=|f（x）|的图象不为轴对称图形．

解答：解：由于函数f(x)=

( 1 2 )x-1，(x≤0) -x2+2x，(x＞0)

，
则当x≤0时，图象是由y=(

1

2

)x下移1个单位得到的；
当x＞0时，图象是开口向下，对称轴为x=1且最大值为1的二次函数图象．如图示

由图知，显然①②为假命题，
③由于x＞0时，y=-x²+2x≤1，故f（x）＞1，即是(

1

2

)x-1＞1，解得x＜-1，故③对；
④由于函数y=f（x）-a有三个零点，即是f（x）=a有三个根，故需使a满足

a＞f(x)极小值 a＜f(x)极大值

，
由图知，f（x）_极小值=0，f（x）_极大值=1，故实数a的范围是0＜a＜1；
⑤由于函数f(x)=

( 1 2 )x-1，(x≤0) -x2+2x，(x＞0)

，显然函数y=|f（x）|的图象不为轴对称图形，故⑤为假命题．
故答案为 ③④．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了二次函数和分段函数的一些性质，我们可以根据函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．