题目内容
设函数f(x)=
为奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义判断f（x）在其定义域上的单调性．
| a•2x+a-2 | 2x+1 |
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义判断f（x）在其定义域上的单调性．
分析：（I ）由函数为奇函数可得f（0）=0，代入可求a的值
（II）利用函数单调性的定义，任设x1＜x2，则需要判断f（x1）-f（x2）=1-
-1+
的符号，从而可判断函数的单调性
（II）利用函数单调性的定义，任设x1＜x2，则需要判断f（x1）-f（x2）=1-
| 2 |
| 2x1+1 |
| 2 |
| 2x2+1 |
解答：解：（I）由题意可得函数的定义域为R
∵f(x)=
为奇函数
∴f（-x）=-f（x）对任意的x都成立
∴f（0）=-f（0）即f（0）=0
∴a•20+a-2=0
∴a=1
（II）由（I）可得f（x）=
=1-
设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=1-
-1+
=
∵x1＜x2
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）得f（x）=
在R上单调递增
∵f(x)=
| a•2x+a-2 |
| 2x+1 |
∴f（-x）=-f（x）对任意的x都成立
∴f（0）=-f（0）即f（0）=0
∴a•20+a-2=0
∴a=1
（II）由（I）可得f（x）=
| 2x-1 |
| 2x+1 |
| 2 |
| 2x+1 |
设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=1-
| 2 |
| 2x1+1 |
| 2 |
| 2x2+1 |
| 2(2x1-2x2) |
| (2x1+1)(2x2+1) |
∵x1＜x2
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）得f（x）=
| 2x-1 |
| 2x+1 |
点评：本题考察了函数奇偶性的性质以及函数单调性的证明方法定义法，解题的关键是理解奇函数的定义及单调性的证明方法，本题的重点是单调性的证明，其中判断符号是难点
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