题目内容

已知点F₁ $数学公式$ 和F₂ $数学公式$ 是椭圆M： $数学公式$ 的两个焦点，且椭圆M经过点 $数学公式$ ．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l和椭圆M交于A、B两点，且 $数学公式$ ，求直线l的方程；
（3）过点P（0，2）的直线和椭圆M交于A、B两点，点A关于y轴的对称点C，求证：直线CB必过y轴上的定点，并求出此定点坐标．

解：（1）由条件得：c= $\text{[math]}$ ，设椭圆的方程 $\text{[math]}$ ，
把 $\text{[math]}$ 代入得 $\text{[math]}$ ，解得a²=4，
所以椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）斜率不存在时， $\text{[math]}$ 不适合条件；
设直线l的方程y=kx+2，点B（x₁，y₁），点A（x₂，y₂），
代入椭圆M的方程并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得 $\text{[math]}$ ．
且 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
代入上式得 $\text{[math]}$ ，解得k=±1，
所以所求直线l的方程：y=±x+2．
（3）设过点P（0，2）的直线AB方程为：y=kx+2，点B（x₁，y₁），点 A（x₂，y₂），C（-x₂，y₂）．
把直线AB方程代入椭圆M： $\text{[math]}$ ，并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得 $\text{[math]}$ ．
且 $\text{[math]}$ ．
设直线CB的方程为： $\text{[math]}$ ，
令x=0得： $\text{[math]}$ ．
把 $\text{[math]}$ 代入上式得： $\text{[math]}$ ．
所以直线CB必过y轴上的定点，且此定点坐标为 $\text{[math]}$ ．
当直线斜率不存在时，也满足过定点的条件．
分析：（1）利用b²=a²-c²及点 $\text{[math]}$ 满足椭圆的方程即可得出．
（2）设出直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及向量相等即可求出；
（3）设过点P（0，2）的直线AB方程为：y=kx+2，与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及其对称性得出直线BC的方程即可．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系、向量相等等基础知识与方法；需要较强的推理能力和计算能力．