题目内容
【题目】设函数,
,
,
(1)求在
处的切线的一般式方程;
(2)请判断与
的图像有几个交点?
(3)设为函数
的极值点,
为
与
的图像一个交点的横坐标,且
,证明:
.
【答案】(1)(2)
与
的图像有2交点(3)证明见解析
【解析】
(1)利用导数求得切线的斜率,结合切点坐标求得切线方程.
(2)构造函数,利用导数研究
的单调区间和零点,由此判断
与
的图像的交点个数.
(3)结合(2)以及题意得到,化简得到
,利用放缩法以及取对数运算,化简证得
成立.
(1)由得切线的斜率为
,切点为
.
∴切线方程为:,
∴所求切线的一般式方程为.
(2)令由题意可知,
的定义域为
,
且.
令,得
,由
,
得,可知
在
内单调递减,
又,且
,
故在
内有唯一解,从而
在
内有唯一解,不妨设为
,
则,当
时,
,∴
在
内单调递增;
当时,
,∴
在
内单调递减,
因此是
的唯一极值点.
令,则当
时,
,故
在
内单调递减,
∴当时,
,即
,
从而,
又因为,∴
在
内有唯一零点,
又在
内有唯一零点1,从而,
在
内恰有两个零点.
所以与
的图像有2交点;
(3)由(2)及题意,即
从而,即
,
∵当时,
,又
,故
,
两边取对数,得,
于是,整理得
,命题得证.
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