Question

【题目】已知曲线C上任意一点到的距离与到点 的距离之比均为.

（1）求曲线C的方程；

（2）设点，过点作两条相异直线分别与曲线C相交于两点，且直线和直线的倾斜角互补，求线段的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ； （2）.

【解析】

（1）设曲线C上的任意一点为Q（x，y），利用已知条件列出方程，即可求解曲线C的方程．

（2）由题意知，直线PE和直线PF的斜率存在，且互为相反数，设直线PE的方程为y+3=k

（x﹣1），由消去y得（1+k2）x2﹣2k（k+3）x+k2+6k﹣1=0，求出EF的

坐标，得到直线的斜率，然后求解直线方程，转化求解EF 的距离的最小值即可．

（1）设曲线C上的任意一点为Q（x，y），

由题意得，整理得x2+y2=10．

即曲线C的方程为x2+y2=10.

（2）由题意知，直线PE和直线PF的斜率存在，

且互为相反数，因为P（1，﹣3），故可设直线PE的方程为y+3=k（x﹣1），

由消去y得（1+k2）x2﹣2k（k+3）x+k2+6k﹣1=0，

因为P（1，﹣3）在圆上，所以点P的横坐标x=1一定是该方程的解，

故可得，同理，，

所以==，

故直线EF的斜率为定值，设直线EF的方程为，

则圆C的圆心到直线EF的距离，

所以，

所以当b=0时，．