Question

设x≥1，y≥1，证明：x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy．

Answer 1

证明：要证x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy，
只需证明

1

xy

-

1

x

-

1

y

≤xy-x-y，
只需证明(1-

1

x

)(1-

1

y

)≤(1-x)(1-y)=（x-1）（y-1），
只需证明1-

1

x

≤x-1；1-

1

y

≤y-1，
即证x+

1

x

≥2，y+

1

y

≥2，（x≥1，y≥1）这是均值不等式，
所以x≥1，y≥1，x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy得证．