题目内容
(09年东城区期末理)(14分)
如图,在直三棱柱中,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在上是否存在点,使得∥平面,若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由.
解析:解法一: (Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影为.
由可得.
所以. ………………..4分
(Ⅱ)过作于,连结.
由底面可得.
故为二面角的平面角.
在中,,
在Rt中,,
故所求二面角的大小为 . ……………………………………9分
(Ⅲ)存在点使∥平面,且为中点,下面给出证明.
设与交于点则为中点.
在中, 连结,分别为的中点,故为的中位线,
∥,又平面,平面,
∥平面.
故存在点为中点,使∥平面. ………………14分
解法二 直三棱柱,底面三边长,
两两垂直.
如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,
则.
(Ⅰ),
,故. …………….4分
(Ⅱ)平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,
,,
由得
令,则.
则.
故<>=.
所求二面角的大小为. ……………………………………….9分
(Ⅲ)同解法一 ……………………………………………………………..………..14分
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