Question

如图，把边长为a的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖直六棱柱的盒子（不计接缝），要使所做成的盒子体积最大，问如何裁剪？

Answer 1

分析：由图形设BO长为x，可求出AB，在直角三角形ABD中解三角形算出BD的长，即求出六棱柱的高的关于x的表达式，再求出底面的用x表示的面积表达式，用体积公式就可以得到六棱柱的体积表达式，再利用函数的单调性判断出函数取到最值时x的值即可．

解答：解：设原正六边形中剪去六个角中的其中一个为ADBC，连接AO（O为正六边形的外接圆的圆心），又设BO长为x，则直六棱柱的盒子的体积为
V（x）=6×

3

4

x²（a-x）×

3

2

=（a-x）x²=

9

4

（ax²-x³），
∴V′（x）=

9

4

（2ax-3x²），
令V′（x）=

9

4

（2ax-3x²）=0，得x=

2

3

a，x=0（舍），
因为V（x）只有一个极值，所以它是最大值，
即x=

2

3

a时，[V（x）]_max=

a3

3

，
因此，只要连接AO，在AO上取AB长为

a

3

，再过点B作BC垂直于正六边形的边长于点C，BD垂直于正六边形的边长于点D，剪去四边形ADBC，同样可剪去另外五角，则折成无盖直六棱柱的盒子体积最大．

点评：考查直六棱柱的体积公式，及用公式将几何问题转化为函数最值的能力，用导数证明函数的单调性求出最值及最值取到时自变量的求法．