Question

20．解关于x的不等式：mx²-（4m+1）x+4＞0（m∈R）

Answer 1

分析 分别讨论m=0、m＞0和m＜0时，对应不等式解集的情况，即可求出解集．

解答 解：当m=0时，不等式化为-x+4＞0，解得x＜4；
当m＜0时，不等式化为（mx-1）（x-4）＞0，
即（x-$\frac{1}{m}$）（x-4）＜0，
解得$\frac{1}{m}$＜x＜4；
当m＞0时，不等式化为（x-$\frac{1}{m}$）（x-4）＞0，
令$\frac{1}{m}$=4，解得m=$\frac{1}{4}$，
此时原不等式化为（x-4）²＞0，
解得x≠4；
当$\frac{1}{m}$＜4，即m＞$\frac{1}{4}$时，
解不等式得x＜$\frac{1}{m}$或x＞4；
当$\frac{1}{m}$＞4，即0＜m＜$\frac{1}{4}$时，
解不等式得x＜4或x＞$\frac{1}{4}$；
综上，m=0时，不等式的解集是{x|x＜4}；
m＜0时，不等式的解集是{x|$\frac{1}{m}$＜x＜4}；
0＜m＜$\frac{1}{4}$时，不等式的解集是{x|x＜4或x＞$\frac{1}{m}$}；
m=$\frac{1}{4}$时，不等式的解集是{x|x≠4}；
m＞$\frac{1}{4}$时，不等式的解集是{x|x＜$\frac{1}{m}$或x＞4}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是中档题．