Question

已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x²-2x-3）f′（x）＜0的解集

（1，3）

．

Answer 1

分析：由f（x）的图象可知：当x＜-1或x＞1时，函数f（x）单调递增，f^′（x）＞0；当-1＜x＜1时，函数f（x）单调递减，f^′（x）＜0．
不等式（x²-2x-3）f′（x）＜0可化为

x2-2x-3＞0 f′(x)＜0

或

x2-2x-3＜0 f′(x)＞0

解出即可．

解答：解：由f（x）的图象可知：当x＜-1或x＞1时，函数f（x）单调递增，∴f^′（x）＞0；当-1＜x＜1时，函数f（x）单调递减，f^′（x）＜0．
不等式（x²-2x-3）f′（x）＜0可化为

x2-2x-3＞0 f′(x)＜0

或

x2-2x-3＜0 f′(x)＞0

化为

x＞3或x＜-1 -1＜x＜1

或

-1＜x＜3 x＜-1或x＞1

，
解得∅或1＜x＜3．
∴不等式（x²-2x-3）f′（x）＜0的解集是（1，3）．
故答案为（1，3）．

点评：熟练掌握函数的单调性与当时的关系、不等式的解法、数形结合的思想方法是解题的关键．