Question

已知A∈[0，2π]，且满足sin(2A+

π

6

)+sin(2A-

π

6

)+2cos2A≥2
（1）求角A的取值集合M；
（2）若函数f（x）=cos2x+4ksinx（k＞0，x∈M）的最大值是

3

2

，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）由两角和与差的正弦公式，可得

3

sin2A+cos2A≥1，再利用辅助角公式化简得sin(2A+

π

6

)≥

1

2

，结合三角函数的图象与性质加以计算，即可得到角A的取值集合M；
（2）利用二倍角的余弦公式，化简得f（x）=-2sin²x+4ksinx+1，再令sinx=t（0≤t≤

3

2

）得到关于t的二次函数y=-2t²+4kt+1，结合二次函数的图象与性质，即可算出满足条件的实数k=

1

2

．

解答：解（1）∵sin(2A+

π

6

)+sin(2A-

π

6

)+2cos2A≥2
∴sin2Acos

π

6

+cos2Asin

π

6

+sin2Acos

π

6

-cos2Asin

π

6

+cos2A+1≥2…（1分）
可得

3

sin2A+cos2A≥1，…（2分）    
即sin(2A+

π

6

)≥

1

2

，…（3分）
因此2kπ+

π

6

≤2A+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，…（4分）
即kπ≤A≤kπ+

π

3

，k∈Z，
结合A∈[0，2π]，得到角A的取值集合M=[0，

π

3

]…（6分）
（2）∵cos2x=1-2sin²x
∴f（x）=-2sin²x+4ksinx+1，
设sinx=t∈[0，

3

2

]
∴f（x）=-2t²+4kt+1，t∈[0，

3

2

]，
二次函数图象的对称轴t=k＞0…（8分）
①当0＜k≤

3

2

时，t=k时函数有最大值，f（k）=-2t²+4kt+1=

3

2

，解之得k=

1

2

；…（10分）
②当k＞

3

2

时，t=

3

2

时函数有最大值，解之得k=

3

3

，不符合题意，舍去  …（12分）
综上所述，满足条件的实数k=

1

2

．…（13分）

点评：本题解一个关于角A的三角不等式，并依此解集作为函数的定义域来求函数的最大值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和二次函数的性质等知识，属于中档题．