题目内容

关于平面向量
a
b
c
,有下列命题:
①(
a
b
c
-(
c
a
b
=0
②|
a
|-|
b
|<|
a
-
b
|;
③(
b
c
a
-(
c
a
b
不与
c
垂直;
④非零向量
a
b
满足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|,则
a
a
-
b
的夹角为60°.
其中真命题的个数为(  )
A、1个B、2个C、3个D、4个
分析:由于 (
a
b
c
表示一个与
c
平行的向量,而(
c
a
b
 表示一个与
b
平行的向量,故①不一定成立.
 当
a
=
b
 时,②不成立.
根据[(
b
c
a
-(
c
a
b
]•
c
=0,得到(
b
c
a
-(
c
a
b
c
垂直,故③不正确.
④由非零向量
a
b
满足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|,可得向量
a
b
a
 - 
b
 这三个向量构成一个等边三角形,故④正确.
解答:解:由于 (
a
b
c
表示一个与
c
平行的向量,而(
c
a
b
 表示一个与
b
平行的向量,而
c
b
的大小方向都不确定,
故①不一定成立.
a
=
b
 时,|
a
|-|
b
|=|
a
-
b
|=0,故②不成立.
[(
b
c
a
-(
c
a
b
]•
c
=(
b
c
)•(
c
a
)-(
c
a
)•(
b
c
 )=0,故(
b
c
a
-(
c
a
b
c
垂直,
故③不正确.
④非零向量
a
b
满足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|,∴向量
a
b
a
 - 
b
 这三个向量构成一个等边三角形,
a
a
+
b
的夹角为30°,故④正确.
故选A.
点评:本题考查两个向量的数量积公式的应用,两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,正确利用两个向量运算的
几何意义,是解题的难点.
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