题目内容
关于平面向量
，
，
．有下列三个命题：
①若
•
=
•
，则
=
．
②若
=（1，k），
=（-2，6），
∥
，则k=-3．
③非零向量
和
满足|
|=|
|=|
-
|，则
与
+
的夹角为60°．
其中真命题的个数有（ ）
| a |
| b |
| c |
①若
| a |
| b |
| a |
| c |
| b |
| c |
②若
| a |
| b |
| a |
| b |
③非零向量
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
其中真命题的个数有（ ）
分析：取特殊向量
、
、
，计算数量积，可得①不正确；根据向量平行的坐标运算，得到②正确；设|
|=|
|=|
-
|=λ，则可算出
•
=
λ2，
•（
+
）=λ2+
λ2=
λ2，|
+
|=
λ，利用向量夹角公式可得
与
+
的夹角为30°，得到③不正确．由此可得正确选项．
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| a |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| a |
| b |
解答：解：对于①，取
=（1，0），
=（2，2），
=（2，-3），
则
•
=
•
=2，但是
≠
，故①不正确；
对于②，若
∥
，则1×6=k×（-2），解之得k=-3．故②正确；
对于③设|
|=|
|=|
-
|=λ，则|
-
|2=（
-
）2=λ2，可得
•
=
λ2，
∴
•（
+
）=λ2+
λ2=
λ2，|
+
|=
λ，
可得则
与
+
的夹角θ满足cosθ=
=
，所以θ=30°，故③不正确．
综上所述，正确的只有②
故选B
| a |
| b |
| c |
则
| a |
| b |
| a |
| c |
| b |
| c |
对于②，若
| a |
| b |
对于③设|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
∴
| a |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| a |
| b |
| 3 |
可得则
| a |
| a |
| b |
| ||||||
|
| ||
| 2 |
综上所述，正确的只有②
故选B
点评：本题以命题真假的判断与应用为载体，考查了向量的数量积运算、向量平行的充要条件和向量模与夹角公式等知识，属于基础题．
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