Question

（2013•湛江一模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（c，0）．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；
（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为-

3

，求双曲线的离心率．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得

b

a

=1，解得a=b，结合c=

a2+b2

=2算出a=b=

2

，可得该双曲线方程；
（2）设A（m，n），根据切线垂直于过切点的半径算出m=

3

n．而以点O为圆心，c为半径的圆方程为x²+y²=c²，将A的坐标代入圆方程，算出点A（

1

2

c，

3

2

c），将此代入双曲线方程，并结合c²=a²+b²化简整理得

3

4

c⁴-2c²a²+a⁴=0，再根据离心率公式整理得3e⁴-8e²+4=0，解之即可得到该双曲线的离心率．

解答：解：（1）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x
∴若双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得

b

a

=1，解之得a=b
∵c=

a2+b2

=2，∴a=b=

2

由此可得双曲线方程为

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）设A的坐标为（m，n），可得直线AO的斜率满足k=

n

m

=

-1

- 3

，即m=

3

n…①
∵以点O为圆心，c为半径的圆方程为x²+y²=c²
∴将①代入圆方程，得3n²+n²=c²，解得n=

1

2

c，m=

3

2

c
将点A（

1

2

c，

3

2

c）代入双曲线方程，得

( 3 2 c)2

a2

-

( 1 2 c)2

b2

=1
化简得：

3

4

c²b²-

1

4

c²a²=a²b²，
∵c²=a²+b²
∴b²=c²-a²代入上式，化简整理得

3

4

c⁴-2c²a²+a⁴=0
两边都除以a⁴，整理得3e⁴-8e²+4=0，解之得e²=

2

3

或e²=2
∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e=

2

（舍负）

点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率和双曲线的方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．