Question

1．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（3）=0，则不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$＞0的解集为（　　）

• A． （-3，0）∪（3，+∞）
• B． （-3，0）∪（0，3）
• C． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• D． （-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

分析 根据条件可得到f（-3）=0，f（x）在（-∞，0）上单调递增，从而由不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{2}＞0$便可得到f（x）＞0，讨论x：x＞0时，会得到f（x）＞f（3）；x＜0时，会得到f（x）＞f（-3），这样根据f（x）的单调性便可得出这两种情况下x的范围，求并集便可得出原不等式的解集．

解答 解：f（x）为奇函数，f（3）=0；
∴f（-3）=0；
f（x）在（0，+∞）上为增函数；
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数；
∴$\frac{f（x）-f（-x）}{2}=f（x）＞0$；
①若x＞0，则f（x）＞f（3）；
∴x＞3；
②若x＜0，则f（x）＞f（-3）；
∴-3＜x＜0；
∴综上得原不等式的解集为（-3，0）∪（3，+∞）．
故选A．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及增函数的定义，根据单调性解不等式的方法．