Question

已知函数f(x)=x2+

1

2

alnx，a∈R．
（1）若a=-4，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g(x)=

1

2

-cos2x，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？

Answer 1

分析：（1）由a=-4，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（2）若定义域内存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，设f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三个不等的实数，由此能求出在定义域内不存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等．

解答：解：（1）∵f(x)=x2+

1

2

alnx，a∈R．
∴f′(x)=2x+

a

2x

，
∵a=-4，∴f′(x)=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，
由x＞0，f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）．
（2）若定义域内存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3），
使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，
设f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），
则对于某一实数m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三个不等的实数，
设F（x）=f（x）-g（x）=x²+

1

2

alnx-（

1

2

-cos2x），
=x²+

1

2

alnx+

1

2

cos2x，
则F′(x)=2x+

a

2x

-sinx，x＞0至少有两个不同的零点，
即a=-（4x²-2xsin2x），x＞0至少有两个不同的解，
设G（x）=4x²-2xsin2x，x＞0
则G′（x）=8x-2sin2x-4xcos2x
=2（2x-sin2x）+4x（1-cos2x），
设h（x）=2x-sin2x，
则h′（x）=2-2cos2x≥0，
故h（x）在（0，+∞）上单调递增，
则当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，
即2x＞sin2x，
又1-cos2x＞0，
则G′（x）＞0，故G（x）在（0，+∞）上是增函数，
a=-（4x²-2xsin2x），x＞0至多只有一个解，故不存在．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．