Question

已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则

1+a

1-a

∈A．
（1）若a=2，求出A中其他所有元素．
（2）根据（1），你能得出什么结论？请证明你的猜想（给出一条即可）．

Answer 1

分析：（1）根据条件，可知2∈A，依据定义可知-3∈A，依此类推可知，A中其它的元素．
（2）根据（1）进行猜想，然后进行证明．

解答：解：（1）若a=2，则

1+2

1-2

=-3∈A，由-3∈A，则

1+(-3)

1-(-3)

=-

1

2

∈A，此时

1+(- 1 2 )

1-(- 1 2 )

=

1

3

∈A，

1+ 1 3

1- 1 3

=2∈A．
故A中元素为2，-3，-

1

2

，

1

3

．
（2）猜想：①A中没有元素-1，0，1；②A中有4个元素，且每两个互为负倒数．
证明：①由上题知，0，1∉A，若0∈A，则

1+a

1-a

=0，得a=-1，当

1+a

1-a

=-1时，a不存在．
故-1∉A，故A中没有元素-1，0，1；
②设a₁∈A，则a2=

1+a1

1-a1

∈A，⇒a3=

1+a2

1-a2

=-

1

a1

∈A，⇒a4=

1+a3

1-a3

=

a1-1

a1+1

∈A⇒a5=

1+a4

1-a4

=a1∈A，
又由集合元素的互异性可知，A中最多只有4个元素，a₁，a₂，a₃，a₄，且a₁a₃=-1，a₂a₄=-1，
则a₁≠a₃，a₂≠a₄．
若a₁=a₃，即a1=

1+a1

1-a1

，得

a

2 1

+1=0，此时方程无解；
故则a₁≠a₃，a₂≠a₄．
∴A中有4个元素．

点评：本题主要考查集合的应用，根据条件进行递推是解决本题的关键，考查学生的运算能力．