题目内容
（2012•上海）设O为△ABC所在平面内一点．若实数x、y、z满足x
+y
+z
=0，（x2+y2+z2≠0），则“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的（ ）
| OA |
| OB |
| OC |
分析：画出草图，根据已知条件x
+y
+z
=0移项得x
+y
=-z
，再由xyz=0，推出x，y，z只有一个为0，再根据三角形的性质进行求解；
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
解答：解：∵O为△ABC所在平面内一点．实数x、y、z满足x
+y
+z
=0（x2+y2+z2≠0），
∴x
+y
=-z
，
若xyz=0”则x、y、z中只能有一个为0，（否则若x=y=0，可推出z=0，这与x2+y2+z2≠0矛盾）
假设x=0（y、z不为0），可得y
=-z
，∴
=-
，
∴向量
和
共线，∴O只能在△ABC边BC上；
若点O在△ABC的边所在直线上，假设在边AB上，说明向量
和
共线，
∴z=0，
∴xyz=0，
∴“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的充要条件；
故选C．
| OA |
| OB |
| OC |
∴x
| OA |
| OB |
| OC |
若xyz=0”则x、y、z中只能有一个为0，（否则若x=y=0，可推出z=0，这与x2+y2+z2≠0矛盾）
假设x=0（y、z不为0），可得y
| OB |
| OC |
| OB |
| z |
| y |
| OC |
∴向量
| OB |
| OC |
若点O在△ABC的边所在直线上，假设在边AB上，说明向量
| OB |
| OA |
∴z=0，
∴xyz=0，
∴“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的充要条件；
故选C．
点评：此题以三角形和平面的向量为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．
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