题目内容

设各项均为正数的数列的前n项和为Sn,已知,且对一切都成立.
(1)若λ=1,求数列的通项公式;
(2)求λ的值,使数列是等差数列.
(1);(2)

试题分析:(1)本题已知条件是,我们要从这个式子想办法得出的简单关系式,变形为,这时我们联想到累乘法求数列通项公式的题型,因此首先由
,又,这个式子可化简为,这样就变成我们熟悉的已知条件,已知解法了;(2)这种类型问题,一种方法是从特殊到一般的方法,可由成等差数列,求出,然后把代入已知等式,得,这个等式比第(1)题难度大点,把化为,有当n≥2时,,整理,得,特别是可变形为,这样与第(1)处理方法相同,可得,即,从而说不得是等差数列.
试题解析:(1)若λ=1,则
又∵,∴,       2分

化简,得.①       4分
∴当时,.②
②-①,得,∴).       6分
∵当n=1时,,∴n=1时上式也成立,
∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,an=2n-1).       8分
(2)令n=1,得.令n=2,得.       10分
要使数列是等差数列,必须有,解得λ=0.       11分
λ=0时,,且
n≥2时,
整理,得,       13分
从而
化简,得,所以.      15分
综上所述,),
所以λ=0时,数列是等差数列.       16分的关系,等差数列.
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