Question

设直线l过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F，且与该抛物线交于A、B两点，l的斜率为k，点C（0，t），当k=0，t=1+2时，△ABC为等边三角形．
（Ⅰ）求抛物线的方程．
（Ⅱ）若不论实数k取何值，∠ACB始终为钝角，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线l过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F，l的斜率为k，知直线l的方程为：y=kx+，当k=0时，y=，C（0，1+2），CF=1+2-，AB=2p，由此利用△ABC是等边三角形，能求出抛物线的方程．
（2）由（1）知，抛物线的方程为x²=4y，直线l的方程为：y=kx+1，联立，得x²-4kx-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，由C（0，t），知，，由不论实数k取何值，∠ACB始终为钝角，知=x₁x₂+（y₁-t）（y₂-t）＜0，由此能求出实数t的取值范围．
解答：解：（1）∵直线l过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F，l的斜率为k，
∴直线l的方程为：y=kx+，
当k=0时，y=，C（0，1+2），CF=1+2-，AB=2p，
∵△ABC是等边三角形，
∴4p²-p²=（1+2-）²，解得p=2．
∴抛物线的方程为x²=4y．
（2）由（1）知，抛物线的方程为x²=4y，直线l的方程为：y=kx+1，
联立，得x²-4kx-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴y₁y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-4k²+4k²+1=1，
y₁+y₂=（kx₁+1）+（kx₂+1）=k（x₁+x₂）+2=4k²+2，
∵C（0，t），∴，，
∵不论实数k取何值，∠ACB始终为钝角，
∴＜0，
∴=x₁x₂+（y₁-t）（y₂-t）
=x₁x₂+y₁y₂-t（y₁+y₂）+t²
=-4+1-4k²t-2t+t²
=t²-（4k²+2）t-3＜0．
∴以k为自变量的不等式4tk²+2t-t²+3＞0的解集是R，
∴t=0，或，
即t=0，或，
解得0≤t＜3．
∴实数t的取值范围是[0，3）．
点评：本题考查抛物线的方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．